非线性优化问题基本形式概述

2023-03-13 12:04 由 weihao_ysgs 发表于 #其他

非线性优化问题以及在视觉SLAM中的应用

1.0 最小二乘基础概念

定义

$\quad$ 找到一个 n 维的变量 $\mathbf{x}^{*} \in \mathbb{R}^{n}$ , 使得损失函数 $F(\mathbf{x})$ 取局部最小值：

\[F(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}\left(f_{i}(\mathbf{x})\right)^{2} \]

$\quad$其中 $f_{i}$ 是残差函数, 比如测量值和预测值之间的差, 且有 $m \geq n$ 。部最小值指对任意 $\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{*}\right\|<\delta$ 有 $F\left(\mathbf{x}^{*}\right) \leq F(\mathbf{x})$
$\quad$损失函数泰勒展开，假设损失函数 $F(\mathbf{x})$ 是可导并且平滑的, 因此, 二阶泰勒展开:

\[F(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})=F(\mathbf{x})+\mathbf{J} \Delta \mathbf{x}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{H} \Delta \mathbf{x}+O\left(\|\Delta \mathbf{x}\|^{3}\right) \]

这里要着重注意一下，这里的 $\mathbf{J}$ 和 $\mathbf{H}$ 都是每一个残差项的雅可比堆叠(计算)而来，实际上对于初学者来说并不直观，后面我们会以一个曲线拟合和 $BA$ 问题来详细分析一下如何通过连加来推算到 $\mathbf{J}$ 和 $\mathbf{H}$

$\quad$其中 $\mathbf{J}$ 和 $\mathbf{H}$ 分别为损失函数 $F$ 对变量 $x$ 的一阶导和二阶导矩阵，也就是我们通常所说的雅可比矩阵和海塞矩阵。(这里的 $\mathbf{x}$ 包含了所有待优化的变量，在视觉SLAM问题中，一般是相机的 Pose 和已经三角化的点的坐标或者逆深度，且由于相机一般能观测到的3D点的个数是有限的，因此其雅可比矩阵也就是稀疏的，只有两个地方的雅可比求导是不为0的，参考14讲P247，那么 $J_{i,j}^TJ_{i,j}$，则只有四个地方是不为0的)。

损失函数泰勒展开的性质

$\quad$ 忽略泰勒展开的高阶项,损失函数变成了二次函数,可以轻易得到如下性质：

如果在点 $x_s$ 处有导数为 $0$ ,则称这个点为稳定点。
在点 $x_s$ 处对应的 Hessian 为 $\mathbf{H}$：
- 如果是正定矩阵，即它的特征值都大于 $0$，则在 $x_s$ 处有 $F (x)$ 为局部最小值。
- 如果是复定矩阵，即它的特征值都小于 $0$，则在 $x_s$ 处有 $F (x)$ 为局部最大值。
- 如果是不定矩阵，即它的特征值大于 $0$ 也有小于 $0$ 的,则 $x_s$ 处为鞍点。

求解方法主要有以下两种：
- 直接求解：线性最小二乘（这里不再赘述，为线性代数的内容，超定方程的通解为 $x=(A^TA)^{-1}A\ b$）
- 迭代下降法：适用于线性和非线性最小二乘

2.0 迭代下降求解方式

迭代法初衷：

找到一个下降方向使得损失函数随着 $x$ 的迭代逐渐减少直到 $x^*$。

\[F(x_{k+1})<F(x_k) \]
分两个步骤；第一，找到下降方向单位向量 $d$ ，第二，确定下降的步长 $a$。

假设 $a$ 足够的小，又因为 $d$ 为单位向量，因此可以将 $ad$ 看作是一个微小的变化量 $\triangle{x}$，我们可以对损失函数进行一阶泰勒展开：

\[F(\mathbf{x}+a \ \mathbf{d}) \approx F(\mathbf{x}) + a\mathbf{J}\mathbf{d} \]
只需要寻找下降方向，满足：

\[\mathbf{Jd}<0 \]
通过 line search 的方法找到下降的步长：$a^*=argmin_{a>0} [F(x+ad)]$

2.1 最速下降法: 适用于迭代的开始阶段

适用于迭代的开始阶段

$\quad$ 从下降方向的条件(单位向量)可以知道: $\mathbf{Jd=||J||}cos\theta$ ，其中 $\theta$ 表示的是下降方向和梯度方向的夹角. 当 $\theta = \pi$ 有:

这里为什么能写成向量的内积运算,笔者在刚开始看起来还认为是两个矩阵相乘法,却直接写成了内积运算，仔细思索发现 $d$ 其实上是一个和 $x$ 相同维度的单位向量，其纬度为 $n\times 1$ ，而雅可比矩阵

\[\mathbf{d=\frac{-J^T}{||J||}} \]

$\quad$即梯度的负方向为最速下降方向。缺点:最优值附近震荡，收敛慢。

2.2 牛顿法: 适用于最优值附近

在局部最优点 $x^∗$ 附近,如果 $x + ∆x$ 是最优解,则损失函数对 $∆x$ 的导数等于 $0$,对公式 (2) 取一阶导有:

\[\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \Delta x}\left (F(\mathbf{x})+\mathbf{J} \Delta \mathbf{x}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{H} \Delta \mathbf{x} \right) &=\mathbf{J^T} + \mathbf{H}\Delta x =0 \end{align*} \]

得到:$∆x = -\mathbf{H^{-1}J^T}$ 。缺点:二阶导矩阵计算复杂。

这里我们其实既可以看作是多个残差的分量相加后组成的 $H$，也可以看作是每个残差单独的 $H$。

2.3 阻尼法：防止 $\Delta x$ 的模过大

将损失函数的二阶泰勒展开记作：

\[F(\mathbf{x}+\Delta x)\approx L(\Delta x) = F(\mathbf{x})+\mathbf{J} \Delta \mathbf{x}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{H} \Delta \mathbf{x} \]

求以下函数的最小化:

\[\Delta x = arg \ \underset{\Delta x}{min} \left \{ L \left (\Delta x\right ) + \frac{1}{2}\mu \Delta x^T\Delta x \right \} \]

其中,$μ ≥ 0$ 为阻尼因子, $ \frac{1}{2}\mu \Delta x^T\Delta x $是惩罚项。对新的损失函数求一阶导,并令其等于 $0$ 有:

\[\mathbf{L^`(\Delta x)} + \mu \mathbf{\Delta x} = 0 \\ (\mathbf{H}+\mu\mathbf{I})\Delta x = -\mathbf{J^T} \]

2.4 Gauss-Newton 和 LM

残差函数 $f(x)$ 为非线性函数，对其进行一阶泰勒近似有：

\[f(x+\Delta x)\approx \ell (\Delta x) \equiv f(x)+J\Delta x \]

带入损失函数：

\[\begin{aligned} F(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x}) \approx L(\Delta \mathbf{x}) & \equiv \frac{1}{2} \ell(\Delta \mathbf{x})^{\top} \ell(\Delta \mathbf{x}) \\ & =\frac{1}{2} \mathbf{f}^{\top} \mathbf{f}+\Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{J}^{\top} \mathbf{f}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{J}^{\top} \mathbf{J} \Delta \mathbf{x} \\ & =F(\mathbf{x})+\Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{J}^{\top} \mathbf{f}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{J}^{\top} \mathbf{J} \Delta \mathbf{x} \end{aligned} \]

这里我们假设暂时只关注其中的一项（其实也可以是所有损失项的叠加，最终形式是一样的）。在 $x$ 处进行的泰勒展开，则认为 $x$ 是已知的，现在的损失函数是一个关于 $\Delta x$ 的函数，其最小值，则令关于 $\Delta x$ 的导数为 $0$ 即可。可以得到：

\[\mathbf{(J^T J)}\Delta x_{gn}=-\mathbf{J^T f} \]

上面这个形式就是我们在论文或者各种SLAM问题中经常见到的形式了，$\mathbf{H \Delta x =b}$，也叫做 normal equation

曲线拟合理解

现在我们通过非线性最小二乘来进行线性拟合实验，将理论应用于实际中去。假设曲线方程为：

\[y=\exp (ax^2+bx+c) \]

其中设 $a=1,b=2,c=3$ 。

现在加入噪声项生成带有高斯分布的噪声数据，当然不是高斯分布的数据也是可以的，但是在自己实验的时候尽量不要出现外点数据，因为我们并没有处理外点数据的策略。则生成数据的方程为：

\[y=\exp (ax^2+bx+c) + w \]

其中 $w$ 为符合高斯分布的噪声数据。

通过如下程序生成观测数据：

double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0;         // 真实参数值
int N = 100;                                 					// 数据点
double w_sigma = 1.0;                      	 	 // 噪声Sigma值
vector<double> x_data, y_data;        // 数据
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    double x = i / 100.0;
    x_data.push_back(x);
    y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma));
}

接下来我们关心雅可比如何计算，误差项 $f_i(a,b,c)$ 可以写成如下形式：

\[f_i(a,b,c)=y_i-exp(a_ex_i^2+b_ex_i+c_e) \]

我们知道这两项相减是绝对不可能相等的，因为在生成数据的时候加入了高斯噪声。我们这里有 $N$ 个观测，即 $i\in (1-100)$，我们将其写成连加的形式

\[F(X)=\sum_{i=1}^{N}\left (y_i-exp(a_ex_i^2+b_ex_i+c_e) \right)^2 \]

该式中右边就是残差项的具体形式，我们对其进行平方，防止负的残差和正的残差抵消的情况，前面我们已经说过可以将残差项通过一阶泰勒展开进行近似，然后进行平方得到每一个残差项的具体形式：

$f(x+\Delta x)\approx f(x)+J(x)\Delta x$

\[\begin{aligned} \frac{1}{2}\|f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}\|^{2} & =\frac{1}{2}(f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x})^{T}(f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}) \\ & =\frac{1}{2}\left(\|f(\boldsymbol{x})\|_{2}^{2}+2 f(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}\right) \\ &=\Omega(\Delta x) \end{aligned} \]

此时由于某时刻的观测已知，因此误差项是一个关于 $\Delta x$ 的二次函数，求该项的最小值只要让关于 $\Delta x$ 的导数为 $0$ 即可。求导后可得：

\[\begin{array}{l} 2 \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} f(\boldsymbol{x})+2 \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}=\mathbf{0} \\ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}=-\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} f(\boldsymbol{x}) \end{array} \]

这里我们简单的记：

\[\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} f(\boldsymbol{x}) = \mathbf{\eta}\\ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}=\mathbf{H\Delta x} \]

即我们常见的形式：

读者要注意到这里的 $b$ 其实就是上面的 $-\eta$

\[\mathbf{H\Delta x=b} \]

这里我们假设残差项记为 $\mathbf{e_i}$ 一共有 $N$ 个观测，则有 $N$ 个残差项。

\[F(X)=\mathbf{e_1^2 + e_2^2+ e_3^2+ e_4^2+ e_5^2+ \dots + e_N^2} \]

整个 $F(X)$ 此时是关于待优化变量的函数，每一项分别用各自的一阶泰勒展开近似，注意这里的每一项由于观测的不同，每一项都是一个不同的函数表达式，但是优化变量都是一样的。得到如下结果：

\[\begin{aligned} \frac{1}{2}\|f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}\|^{2} &=\Omega(\Delta x) \end{aligned} \]

\[F(X)\approx \Omega(\Delta x)_1 + \Omega(\Delta x)_2+ \Omega(\Delta x)_3+ \Omega(\Delta x)_4 \dots + \Omega(\Delta x)_N \]

这里的 $\Delta x$ 是我们在使用基于迭代下降的方法中所选中的步长和方向，如果 $F(X)$ 在 $\Delta x$ 为某个值时取得极小值，则 $\Delta x$无论是在任何一个方向加或者减函数值都会上升，此时这个点则为极小值点，这里的叙述不太数学化，但是大家联想一下极小值的定义，应该是可以理解的，当达到该条件后，那么该点关于 $\Delta x$ 的导数一定为 $0$ 。所以对此时的$F(X)$求导并让其等于 $0$ 得到：

\[\mathbf{H_1\Delta x } + \mathbf{\eta_1} + \mathbf{H_2\Delta x } + \mathbf{\eta_2} + \mathbf{H_3\Delta x } + \mathbf{\eta_3} \dots + \mathbf{H_N\Delta x } + \mathbf{\eta_N} = \mathbf{0} \]

再将该式子变形，将关于 $\Delta x$ 的项都移动到左边，没有关于 $\Delta x$ 的移动到右边：

\[\mathbf{H_1\Delta x } + \mathbf{H_2\Delta x } + \mathbf{H_3\Delta x } + \dots + \mathbf{H_N\Delta x }= - \mathbf{\eta_1} - \mathbf{\eta_2} - \mathbf{\eta_3} \dots - \mathbf{\eta_N} \]

其实也就是:

\[\mathbf{H_1\Delta x } + \mathbf{H_2\Delta x } + \mathbf{H_3\Delta x } + \dots + \mathbf{H_N\Delta x }= \mathbf{b_1} + \mathbf{b_2} + \mathbf{b_3} \dots + \mathbf{b_N} \]

写成连加的形式：

\[\Delta x\sum_{i=1}^{N}H = \sum_{i=1}^{N}b \]

这里我们就通过每一项的一个具体形式来推倒出最后的 H 和 b 是怎么来的了。也就是我们经常在程序中见到的 += 操作的原理：

H +=  J * J.transpose();
b += -J * error;

我们再次回到曲线拟合的题目中去，待优化的变量就三个 $a,b,c$ 则每一个残差项都含有这三个参数，我们称其雅可比为稠密的（虽然只有三个参数，视觉BA问题中由于相机观测的特殊性，其雅可比矩阵是稀疏的），对每一个残差向分别求雅可比，然后求和得到最终的 $H$ 和 $b$ ，然后求解一次 $\Delta x$ ，Step 一次，根据判断条件选择是否继续进行迭代。每一个残差项对于 $\Delta x$ 的雅可比为

\[\begin{array}{l} J[0]_a = -x_i^2 \exp(a_ex_i^2-b_ex_i-c) \\ J[1]_b = -x_i \exp(a_ex_i^2-b_ex_i-c) \\ J[2]_c = -\exp(a_ex_i^2-b_ex_i-c) \\ \end{array} \]

得到了雅可比，那么剩下的就是迭代求解即可，完整代码如下，来自14讲配套代码：

#include <iostream>
#include <chrono>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main(int argc, char **argv) {
  double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0;         // 真实参数值
  double ae = 2.0, be = -1.0, ce = 5.0;        // 估计参数值
  int N = 100;                                 // 数据点
  double w_sigma = 1.0;                        // 噪声Sigma值
  double inv_sigma = 1.0 / w_sigma;
  cv::RNG rng;                                 // OpenCV随机数产生器

  vector<double> x_data, y_data;      // 数据
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    double x = i / 100.0;
    x_data.push_back(x);
    y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma));
  }

  // 开始Gauss-Newton迭代
  int iterations = 100;    // 迭代次数
  double cost = 0, lastCost = 0;  // 本次迭代的cost和上一次迭代的cost

  chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();
  for (int iter = 0; iter < iterations; iter++) {

    Matrix3d H = Matrix3d::Zero();             // Hessian = J^T W^{-1} J in Gauss-Newton
    Vector3d b = Vector3d::Zero();             // bias
    cost = 0;

    for (int i = 0; i < N; i++) {
      double xi = x_data[i], yi = y_data[i];  // 第i个数据点
      double error = yi - exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);
      Vector3d J; // 雅可比矩阵
      J[0] = -xi * xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);  // de/da
      J[1] = -xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);  // de/db
      J[2] = -exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);  // de/dc

      H +=  J * J.transpose();
      b += -J * error;

      cost += error * error;
    }

    // 求解线性方程 Hx=b
    Vector3d dx = H.ldlt().solve(b);
    if (isnan(dx[0])) {
      cout << "result is nan!" << endl;
      break;
    }

    if (iter > 0 && cost >= lastCost) {
      cout << "cost: " << cost << ">= last cost: " << lastCost << ", break." << endl;
      break;
    }

    ae += dx[0];
    be += dx[1];
    ce += dx[2];

    lastCost = cost;

    cout << "total cost: " << cost << ", \t\tupdate: " << dx.transpose() <<
         "\t\testimated params: " << ae << "," << be << "," << ce << endl;
  }

  chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();
  chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);
  cout << "solve time cost = " << time_used.count() << " seconds. " << endl;

  cout << "estimated abc = " << ae << ", " << be << ", " << ce << endl;
  return 0;
}

运行结果如下：

total cost: 3.19575e+06,                update: 0.0455771  0.078164 -0.985329           estimated params: 2.04558,-0.921836,4.01467
total cost: 376785,             update:  0.065762  0.224972 -0.962521           estimated params: 2.11134,-0.696864,3.05215
total cost: 35673.6,            update: -0.0670241   0.617616  -0.907497                estimated params: 2.04432,-0.0792484,2.14465
total cost: 2195.01,            update: -0.522767   1.19192 -0.756452           estimated params: 1.52155,1.11267,1.3882
total cost: 174.853,            update: -0.537502  0.909933 -0.386395           estimated params: 0.984045,2.0226,1.00181
total cost: 102.78,             update: -0.0919666   0.147331 -0.0573675                estimated params: 0.892079,2.16994,0.944438
total cost: 101.937,            update: -0.00117081  0.00196749 -0.00081055             estimated params: 0.890908,2.1719,0.943628
total cost: 101.937,            update:   3.4312e-06 -4.28555e-06  1.08348e-06          estimated params: 0.890912,2.1719,0.943629
total cost: 101.937,            update: -2.01204e-08  2.68928e-08 -7.86602e-09          estimated params: 0.890912,2.1719,0.943629
cost: 101.937>= last cost: 101.937, break.
solve time cost = 0.00440302 seconds. 
estimated abc = 0.890912, 2.1719, 0.943629

和真实结果对比，这里的准确度取决于我们噪声方差的大小

	$a$	$b$	$c$
Estimate	$0.890912$	$2.1719$	$0.943629$
Real	$1$	$2$	$1$

下一节我们来讨论一下视觉SLAM中的非线性优化问题的具体形式，以及其 $H$ 和 $b$ 的由来和构建方法。

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	\(a\)	\(b\)	\(c\)
Estimate	\(0.890912\)	\(2.1719\)	\(0.943629\)
Real	\(1\)	\(2\)	\(1\)